|
Задачи
№1.Найти
площадь квадрата, если его сторонa задана
координатами ее концов (x1,y1) и (x2,y2).
Решение. Найдем сторону
квадрата используя формулу расстояния между 2-мя точками
a:=sqrt(sqr(x1-x2)+sqr(y1-y2)),
а затем найдем площадь квадрата по формуле S:=sqr(a).
Тест1 (х1=0,у1=0,х2=0,у2=4 --- S=16 )
Тест2 (х1=1,у1=1,х2=2,у2=1 --- S=1)
№2. Известны периметр
треугольника р и две его стороны а и b. Найти площадь
данного треугольника
Решение. Найдем
3-сторону треугольника, используя формулу
c:=p-a-b, затем по формуле Герона найдем
площадь p1:=p/2;
S:=sqrt(p1*(p1-a)*(p1-b)*(p1-c)).
Тест1 (a=2,b=2,p=6 --- S=1.73 )
Тест2 (a=2,b=4,p=9 --- S=2.90 )
№3.
Дана равнобедренная трапеция, боковая сторона которой равна d, основания равны а и
b. Найти ее площадь и периметр.
Решение. Найдем
периметр трапеции по формуле p:=a+b+2*d. Для нахождения площади
найдем высоту из прямоугольного треугольника h:=sqrt(sqr(d)-sqr((a-b)/2)).
Тогда площадь S:=1/2*(a+b)*h;
Тест1 (a=10,b=6,d=4 --- S=27.71; p=24 )
Тест2 (a=10,b=4,d=5 --- S=28 ; p=24 )
№4. Треугольник задан
координатами своих вершин. Найти периметр треугольника.
Решение. Найдем
стороны треугольника используя формулу расстояния между 2-мя
точками a:=sqrt(sqr(x1-x2)+sqr(y1-y2)),
b:=sqrt(sqr(x2-x3)+sqr(y2-y3)), c:=sqrt(sqr(x1-x3)+sqr(y1-y3)).
Затем вычислим периметр по формуле p:=a+b+c.
Тест1 (x1=0,y1=0,x2=0,y2=2,x3=2,y3=0 --- p=6.82 )
Тест2 (x1=2,y1=2,x2=3,y2=3,x3=7,y3=1 --- p=10.98)
№5. Дана равнобедренная
трапеция, боковая сторона которой равна d, меньшее основание равно a, а большее
в 3 раза больше. Найти ее площадь и периметр.
Решение. Смотри задачу №3
Тест1 (a=3,d=5 --- S=24; p=22 )
Тест2 (a=10,d=15 --- S=223.60; p=70 )
№6. Треугольник задан координатами своих
вершин. Найти площадь треугольника.
Решение. Найдем
стороны треугольника используя формулу расстояния между 2-мя
точками a:=sqrt(sqr(x1-x2)+sqr(y1-y2)),
b:=sqrt(sqr(x2-x3)+sqr(y2-y3)), c:=sqrt(sqr(x1-x3)+sqr(y1-y3)).
Затем вычислим периметр по формуле p:=a+b+c,
полупериметр -
p1:=p/2 и площадь по формуле Герона
s:=sqrt(p1*(p1-a)*(p1-b)*(p1-c)).
Тест1 (x1=1,y1=1,x2=3,y2=3,x3=7,y3=1 --- s=6 )
Тест2 (x1=2,y1=1,x2=3,y2=2,x3=18,y3=6 --- s=5.49)
№7. Радианная мера угла=а. Найти его градусную
меру.
Решение. Найдем
градусную меру по формуле
a1:=180*a/pi.
Тест1 (a=1 --- a1=57.29 )
Тест2 (a=3 --- a1=171.88)
№8.
Градусная
мера угла=а. Найти его радианную меру.
Решение. Найдем
радианную меру по формуле
a1:=a*pi/180.
Тест1 (a=90 --- a1=1.57 )
Тест2 (a=45 --- a1=0.78)
№9. Измерения прямоугольника
параллелепипеда равны а,б,с. Найдите объем и площадь полной поверхности.
Решение Объём
вычисляется по формуле
v:=a*b*c, площадь -
S:=2*a*b+2*a*c+2*b*c.
Тест1 (a=1,b=1,c=1 --- S=6; v=1 )
Тест2 (a=2,b=2,c=1 --- S=16; v=4)
№10. Сторона равностороннего треугольника равна
а. Найти его высоту и площадь.
Решение. Найдем
высоту треугольника
h:=sqrt(sqr(a)-sqr(a/2)),
площадь
S:=1/2*a*h.
Тест1 (a=3 --- S=3.89; h=2.59 )
Тест2 (a=10 --- S=43.30; h=70 )
№ 11.
Найдите длину окружности
и площадь круга радиуса R.
Решение. Найдем
длину по формуле
l:=2*pi*r, площадь
S:=pi*sqr(r).
Тест1 (r=1 --- S=3.14; l=6.28 )
Тест2 (r=10 --- S=314.15; l=62.83)
№12. Найдите площадь круга радиуса
R.
Решение. Найдем
площадь
S:=pi*sqr(r).
Тест1 (r=1 --- S=3.14 )
Тест2 (r=10 --- S=314.15)
№13. Основание равнобедренного треугольника равно
а, боковая сторона b. Найти его высоту и площадь.
Решение. Смотри задачу №10
Тест1 (a=1,b=2 --- S=0.96; h=1.93)
Тест2 (a=4,b=3 --- S=4.47; h=2.23)
№14.
Дан прямоугольник, одна
сторона которого равна а, вторая задана координатами (x1,y1),(x2, y2). Найти
площадь данного прямоугольника.
Решение. Найдем вторую
сторону использую формулу расстояние между 2-мя точками
b:=sqrt(sqr(x1-x2)+sqr(y1-y2)). Затем
найдем площадь прямоугольника S:=a*b.
Тест1 (х1=0,у1=0,х2=0,у2=4,a=4 --- S=16 )
Тест2 (х1=1,у1=1,х2=2,у2=1,a=2 --- S=2)
№15. Дан треугольник, стороны которого равны a,b,c. Найти его площадь.
Решение. Использовать
формулу Герона.
Тест1 (a=2,b=2,c=3 --- S=1.98 )
Тест2 (a=2,b=4,c=5 --- S=3.79 )
№16.
Найти среднеарифметическое и среднегеометрическое трех чисел.
Решение.
Среднеарифметическое трех чисел вычисляется по формуле
Sa:=(a+b+c)/3,
среднегеометрическое трех чисел
Sg:=exp(ln(a*b*c)*(1/3)).
Тест1 (a=1,b=1,c=1 --- Sa=1, Sg=1 )
Тест2 (a=2,b=3,c=4 --- Sa=3, Sg=2.88 )
№17. Радиус окружности равен
R. Найдите длины сторон вписанных в эту окружность:
а) правильного треугольника.
б) квадрата.
в) правильного шестиугольника.
Решение. Длина
стороны равностороннего треугольника -
a1:=sqrt(3)*r, квадрата -
a2:=sqrt(2)*r,
шестиугольника a3:=r.
Тест1 (r=1 --- a1=1.73, a2=1.41, a3=1 )
Тест2 (r=2 --- a1=3.46, a2=2.82, a3=2 )
№18. Железная дорога имеет
форму треугольника, вершинами которого являются станции: Комарово (х1,y1), Степенево(х2,y2) и Долгое (х3,y3). Электричка совершает маршрут по следующей
схеме Комарово - Степенево - Долгое - Комарово, проходя каждый из этих этих
участков соответственно за время t1,t2 и t3. Определить ее среднюю скорость на
всем маршруте следования.
Решение. Вычислить
расстояния между станциями по формуле расстояние между 2-мя точками,
затем среднюю скорость на каждом участке пути и наконец среднюю скорость
на всём участке пути.
Тест1 (x1=y1=0,x2=y2=10,x3=20,y3=0,t1=t2=t3=1 --- Sk=16.09)
Тест2 (x1=y1=0,x2=20,y2=0,x3=0,y3=20,t1=1,t2=2,t3=3 --- Sk=13.60)
№19
. Заданы
две стороны треугольника и угол между ними. Найти: углы и стороны
Решение. Найдем третью
сторону по формуле c:=sqrt(sqr(a)+sqr(b)-2*a*b*cos(x1)),
затем второй угол x2:=(a-sin(x1))/c. и третий
x3:=180-(x1+x2).
Тест1 (a=9,b=9,x=60 --- c=17.78,x2=0.52,x3=119.47)
Тест2 (a=5,b=4,x=10 --- c=8.63,x2=0.52,x3=169.47)
№20.
Стороны
параллелограмма а и b, угол между ними х. Найдите периметр Р, площадь S.
Решение. Найдем
периметр по формуле
p:=2*(a+b). площадь s:=a*b*sin(x),
Тест1 (a=3,b=4,x=1 --- s=10.09,p=14)
Тест2 (a=2,b=3,x=45 --- s=5.109,p=10)
№21.
Длины
сторон треугольника а,b,c. Найдите длины Нa,Нb,Нc его высот.
Решение. Найдем площадь
по формуле Герона
p:=(a+b+c)/2, s:=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).
И высоты по формулам Ha:=2*s/a,
Hb:=2*s/b,Hc:=2*s/c.
Тест1 (a=3,b=4,c=5 --- Ha=4,Hb=3,Hc=2.4)
Тест2 (a=5,b=4,c=5 --- Ha=3.66,Hb=4.58,Hc=3.66)
№22.
Длины
сторон треугольника a,b,c. Найдите площадь S, радиус вписанной окружности Rv,
радиус описанной окружности Ro.
Решение. Найдем площадь
по формуле Герона
p:=(a+b+c)/2, s:=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).
Затем радиусы Ro:=a*b*c/(4*s), Rv:=s/p.
Тест1 (a=3,b=4,c=5 --- S=6,Ro=2.5,Rv=1)
Тест2 (a=5,b=4,c=5 --- S=9.16,Ro=2.72,Rv=1.30)
№23.
Площадь
прямоугольника S, одна из его сторон а. Найдите диагональ и периметр
прямоугольника.
Решение. Найдем вторую
сторону
b:=s/a, затем вычислим
p:=2*(a+b) и диагональ
d:=sqrt(a*a+b*b)
Тест1 (a=3,s=12 --- d=5,p=14)
Тест2 (a=5,s=15 --- d=5.83,p=16)
№24.
Площадь
квадрата S. Найдите диагональ квадрата.
Решение. Найдем сторону
квадрату
a:=sqrt(s), затем диагональ
d:=sqrt(a*a+a*a).
Тест1 (s=16 --- d=5.65)
Тест2 (s=64 --- d=11.31)
№25.
Периметр квадрата
Р. Найдите диагональ квадрата.
Решение. Найдем сторону
квадрату
a:=p/4, затем диагональ
d:=sqrt(a*a+a*a).
Тест1 (p=16 --- d=5.65)
Тест2 (p=47 --- d=16.61)
№26.
Основание
равнобедренного треугольника а, боковая сторона b. Найдите площадь и высоту
треугольника опущенную на основание.
Решение. Найдем высоту
и площадь по формулам h:=sqrt(sqr(b)-sqr(a/2)),
s:=1/2*a*h.
Тест1 (a=5,b=4 --- h=3.12,s=7.80)
Тест2 (a=4,b=3 --- h=2.23,s=4.47)
№27 Два
светила находятся на расстоянии d друг от друга. Они двигаются навстречу друг
другу со скоростями V1,V2. Определить расстояния которые они пройдут до встречи.
Решение. Найдем время
которое они были в пути
t:=d/(v1+v2), а затем расстояния s:=v1*t,
s1:=v2*t.
Тест1 (d=100,v1=10,v2=15 --- s=60,s1=40)
Тест2 (d=6,v1=2,v2=2 --- s=3,s1=3)
№28.
Отец завещал 1/3 своего имения сыну и 2/5 дочери, из оставшегося
капитала N руб должны пойти на уплату долга и M руб. в пользу вдовы. Как велик
был оставленный отцом капитал и поскольку получили сын и дочь.
Решение. Найдем долг по
формуле x:=(n+m)*15/4, сыну -
s:=x/3, дочери - d:=2*x/5.
Тест1 (n=10,m=2 --- x=45,s=15,d=18)
Тест2 (n=100,m=300 --- x=1500,s=500,d=600)
№29. Дано
натуральное трехзначное число N. Составить алгоритм для получения последней
цифры этого числа
Решение. Используя
функцию остаток от деления получим
r:=n mod 10.
Тест1 (n=444 --- r=4)
Тест2 (n=339 --- r=9)
№30. Дано натуральное
трехзначное число N. Составить алгоритм для получения суммы цифр этого числа.
Решение. Используя
функцию остаток от деления получим последнюю цифру
r:=n mod 10, из исходного числа вычтем
полученное и разделим разность на 10, используя целочисленное деление -
получим двузначное число n:=(n-r) div 10
(трехзначное число с отброшенной послей цифрой), затем найдем вторую
цифру r1:=n mod 10 и наконец третью n:=(n-r1) div 10,
r2:=n. Осталось только их суммировать s:=r+r1+r2.
Тест1 (n=444 --- s=12)
Тест2 (n=339 --- s=15)
№31.
Дано натуральное трехзначное число N. Составить алгоритм для
получения числа М, являющегося перевертышем числа N (например 321 - 123).
Решение. Использовать
решение задачи 30.
Тест1 (n=435 --- r=534)
Тест2 (n=319 --- r=913)
№32.
Даны
длины катетов прямоугольного треугольника. Найти гипотенузу, площадь и периметр
треугольника
Решение. По теореме
Пифагора найдем гипотенузу
d:=sqrt(sqr(a)+sqr(b)), затем периметр и
площадь p:=a+b+d, s:=1/2*a*b.
Тест1 (a=3,b=4 --- d=5,p=12,s=6)
Тест2 (a=4,b=7 --- d=8.06,p=19.06,s=14)
№33.
Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты
равны и известна его площадь и периметр.
Решение. Найдем катет
a:=sqrt(s/(1/2)),
затем гипотенузу c:=p-2*a.
Тест1 (s=6,p=12 --- d=5.07)
Тест2 (s=10,p=20 --- d=11.05)
№34.
Некто
на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: "Первый мой сын втрое старше
второго, а обоим им вместе столько лет, сколько мне было лет тому назад m, мне
теперь n лет". Найти возраст обоих сыновей
Решение. Найдем возраст
первого сына r1:=(n-m)/4,
затем второго r2:=n-m-r1.
Тест1 (m=20,n=60 --- r1=10,r2=30)
Тест2 (m=2,n=10 --- r1=2,r2=6)
№ 35.
Известно, что Х кг яблок стоит А рублей. Определить, сколько стоит 1 кг и У кг
этих же яблок.
Решение. Найдем сколько
стоит 1 кг яблокs:=a/x,
тогда У кг будет стоить s1:=s*y.
Тест1 (x=5,a=20,y=4 --- s=4,s1=16)
Тест2 (x=2,a=100,y=5 --- s=50,s1=250)
№ 36.
Написать программу подсчета кол-ва часов, минут и секунд в
данном числе суток.
|
